MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CA MPOS 1.274]

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$G$

Reflexão e tunelamento através de uma barreira potencial por um pacote de ondas. Uma parte do pacote de ondas passa através da barreira, o que não é possível pela física clássica.

Uma analogia comumente utilizada para explicar o fenômeno do tunelamento quântico consiste em se imaginar uma colina e um trenó subindo em direção ao seu cume. À medida que o trenó vai subindo a colina, parte de sua energia cinética transforma-se em energia potencial gravitacional U. Quando o cume da colina é atingido, o trenó tem energia potencial Ub. Se a energia mecânica inicial E do trenó for maior que Ub, o trenó poderá chegar até o outro lado da colina. Contudo, se E for menor que Ub, a física clássica garante que não existe a possibilidade de o trenó ser encontrado do outro lado da colina. Na mecânica quântica, porém, existe uma probabilidade finita de que esse trenó apareça do outro lado, movendo-se para a direita com energia E, como se nada tivesse acontecido. Dizemos que a colina se comporta como uma barreira de energia potencial, exemplificando de maneira simplista o efeito Túnel.^[9]

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade $\Psi$ da onda de matéria associada a ele, pode-se considerar três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as três regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa.^[5]

O coeficiente de transmissão (T) de uma determinada barreira é definido como uma fração dos elétrons que conseguem atravessá-la. Assim, por exemplo, se T= 0,020, isso significa que para cada 1000 elétrons que colidem com a barreira, 20 elétrons (em média) a atravessam e 980 são refletidos.

$T=e^{-2bL}$ , $b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}$ $G$

Por causa da forma exponencial da equação acima, o valor de T é muito sensível às três variáveis de que depende: a massa m da partícula, a largura L da barreira e a diferença de energia (Ub – E) entre a energia máxima da barreira e a energia da partícula. Constatamos também pelas equações que T nunca pode ser zero.^[9

A Lei de Moseley é uma lei empírica obtida pela relação entre raios-X característicos dos átomos. É importante historicamente na justificação do modelo nuclear para o átomo, em que toda a carga positiva está contida no núcleo do átomo, e é associada ao seu número de elétrons. Na época de Moseley, o número atômico era apenas a posição do elemento na tabela periódica, sem significado físico.^[1]

História

Nas conversas com Niels Bohr em 1913, Moseley ficou interessado no modelo atômico de Bohr, em que o espectro de emissão eletromagnética dos átomos é proporcional à raiz quadrada de Z, ou seja, à carga elétrica no núcleo (que tinha sido descoberta dois anos antes). O modelo de Bohr tinha sido bem sucedido em demonstrar a fórmula empírica de Rydberg para o átomo de Hidrogênio, porém não conseguia explicar o espectro para os elementos mais massivos. Em particular, apenas dois anos antes, Rutherford em 1911, postulou que o Z para átomos de prata menos que a metade de sua massa e pouco tempo depois, Antonius van den Broek sugeriu que o valor de Z não era a metade da massa atômica, mas era exatamente o número atômico, ou a posição na tabela periódica. Até aquela época, não se conhecia qualquer significado físico para a posição do elemento na tabela periódica, com exceção da ordenação de algumas propriedades químicas.

Na maioria dos casos, a tabela periódica tende a ficar de acordo com a massa atômica, porém existem alguns casos famosos de átomos com número atômico maior e massa menos, como por exemplo o cobalto com massa 58,9 e Z=27 e o níquel de massa 58,7 e Z=28.

Como o espectro de emissão para átomos com Z altos estão na faixa dos raios-X moles (facilmente absorvidos pelo ar), Moseley precisou utilizar tubos de vácuo. Usando as técnicas de difração de raios-X, Moseley descobriu que as linhas de emissões mais intensas dos átomos eram intrinsecamente relacionadas com o número atômico Z.

Essa linha atualmente é conhecida como linha K-alfa. E finalmente Moseley descobriu que essa relação podia ser descrita por uma fórmula simples, que ficou conhecida como a Lei de Moseley.

f=k_{1}\cdot (Z-k_{2})^{2}

$G$

Onde:

f\

é a frequencia de emissão da linha Kα

k_{1}\

and

k_{2}\

são constantes que dependem do tipo de linha

Por exemplo, os valores de $k_{1}\$ e $k_{2}\$ são os mesmos para todas as linhas $K_{\alpha }$ então a fórmula pode ser simplificada para:

f=(2.47\times 10^{15})\cdot (Z-1)^{2}

$G$

Moseley escolheu mostrar a fórmula sem $k_{1}\$ mais com um número constante puro, no estilo de Johannes Rydberg, deixando a constante como 3/4 (ou 1- 1/4) da frequência fundamental de Rydberg ((3.29*10¹⁵ Hz) para as linhas $K_{\alpha }$ e novamente para as linhas $L_{\alpha }$ , $k_{1}\$ ficou igual a 1/4 - 1/9 = 5/36 vezes a frequência de Rydberg, essa foi a forma que Moseley escolheu para escrever sua fórmula.^[2]

A constante empírica $k_{2}\$ é dado pelo fit dos dados das linhas de emissão $K_{\alpha }$ e $L_{\alpha }$ Moseley obteve o valor (Z - 7.4)² para as linhas $L_{\alpha }$ e $k_{2}\$ igual a 1 para as linhas $K_{\alpha }$ .

Abaixo está a formulação original de Moseley (com os dois lados elevado ao quadrado para melhor clareza).

f(K_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 3/4\cdot (Z-1)^{2}

$G$

f(L_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 5/36\cdot (Z-7.4)^{2}

$G$

Em física, a lei de Rayleigh-Jeans, primeiramente proposta no início do século XX, com o objetivo de descrever a radiação espectral da radiação eletromagnética de todos os comprimentos de onda desde um corpo negro a uma temperatura dada. Expressa a densidade de energia de um radiação de corpo negro de comprimento de onda λ como^[1]

f(\lambda )=8\pi k{\frac {T}{\lambda ^{4}}}

$G$

também sendo escrita na forma

B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}

$G$

onde λ está em metros, c é a velocidade da luz, T é a temperatura em Kelvins, e k é a constante de Boltzmann.

A lei é derivada de argumentos da física clássica. Lord Rayleigh obteve pela primeira vez o quarto grau da dependência do comprimento de onda em 1900; uma derivação mais completa, a qual incluía uma constante de proporcionalidade, foi apresentada por Rayleigh e Sir James Jeans em 1905. Esta agregava umas medidas experimentais para comprimentos de onda. Entretanto, esta predizia uma produção de energia que tendia ao infinito já que o comprimento de onda se fazia cada vez menor. Esta ideia não se sustentava pelos experimentos e a falta se conheceu como a "catástrofe ultravioleta"; entretanto, não foi, como as vezes se afirma nos livros-texto de física, uma motivação para a teoria quântica.

A lei concorda com medições experimentais para grandes comprimentos de onda mas discorda para comprimentos de onda pequenos.

Em 1900 Max Planck revisou a lei, obtendo uma lei um tanto diferente, a qual estabeleceu:

f(\lambda )=8\pi hc{\frac {\lambda ^{-5}}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

$G$

que pode ser escrita também na forma

B_{\lambda }(T)={\frac {2c^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {h}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}

$G$

onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Esta é a Lei de Planck expressa em termos de comprimento de onda λ = c /ν. A lei de Planck não sofre de uma "catástrofe ultravioleta", e assim de acordo com os dados experimentais, mas seu pleno significado só se apreciaria vários anos mais tarde. No limite de temperaturas muito altas ou grandes comprimentos de onda, no termo exponencial se converte no pequeno, pelo que o denominador se converte em aproximadamente hc / kT λ série de potências de expansão. Isto lhe dá o nome de Lei de Rayleigh-Jeans.

A fórmula

Primeira tentativa de calcular a densidade de energia dentro da caixa, derivada do teorema da equipartição termodinâmica, usando a lei de distribuição de modo normal obtida do eletromagnetismo clássico multiplicada pela energia média dos modos vibracionais:^[2]

As duas teorias utilizadas, eletromagnetismo e termodinâmica estatística, foram amplamente testadas e amplamente aceitas na física da época. Jeans mais tarde fez uma pequena correção relacionada ao fator 8, que foi causado por um erro no cálculo de Rayleigh do número de estados.

A lei de distribuição resultante passou a ser chamada de distribuição Rayleigh-Jeans.

Embora a distribuição obtida utilize uma teoria bem testada e completamente confiável, seus resultados são corretos apenas na faixa de baixas frequências.

Para o limite oposto, a distribuição Rayleigh-Jeans apresenta resultados completamente inconsistentes, produzindo densidade de energia e, portanto, emissividade espectral divergente com frequência crescente.

O número de modos de vibração eletromagnética no interior de uma caixa quadrada com dimensões iguais a $�$ , no intervalo de frequências entre $\nu$ e $\nu$ e $\nu +d\nu$ , é dado por $N(\nu )d\nu$ .

${N(\nu )d\nu ={\frac {8\pi l^{2}\nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu }$ $G$

Nesta equação, deve-se notar que a existência de volume é expressa como o cubo da caixa tamanho l.

O número de estados eletromagnéticos depende dessa quantidade, embora a densidade de estados, formalmente o número de estados dividido pelo volume, não seja.

A energia média de cada modo vibracional eletromagnético é dada pelo teorema da equipartição, que é o resultado da seguinte integração, assumindo equilíbrio térmico e um contínuo de valores possíveis para a energia:

$<E>={\frac {\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\varepsilon /kT}d\varepsilon }{\int _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon /kT}d\varepsilon }}$ $G$

A equação apresenta bom comportamento, reproduzindo qualitativa e quantitativamente os resultados experimentais na região de baixa frequência. No entanto, na região de alta frequência, a equação produz resultados absurdos, sugerindo uma contradição teórica, pois nessa região a densidade de energia é assintoticamente infinita.

O resultado, conhecido como catástrofe do ultravioleta, sugere que uma das teorias usadas para desenvolver a equação, é conhecida como eletromagnetismo ou teorema da equipartição.^{[necessário esclarecer]}

Descrição clássica

Como exemplo mais simples de um corpo radiante, tem-se o oscilador harmônico linear de frequência própria $\nu$ .^[3]

Para este oscilador, pode-se determinar a energia radiada por segundo; sendo esta radiação equivalente à radiação emitida por um dipolo oscilante a qual é dada pela equação:

$\mu \nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}{}}}\varepsilon$ $G$

onde $\varepsilon$ é a energia média dos osciladores. Pela lei de equipartição de energia, é possível chegar a este valor de energia, dado na equação:

$\varepsilon ={\frac {1}{\beta }}=kT$

onde $�$ é a constante de Boltzmann e $�$ é a temperatura. Substituindo o valor de na equação de $\mu \nu$ , obtém-se:

$\mu \nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}{}}}kT$ $G$

Entretanto, por essa lei, o aumento da frequência implica em aumento da energia radiante até que lim ν → ∞ ⇒ μν → ∞. Esta incoerência ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta.

Em mecânica estatística clássica, o teorema da equipartição é uma fórmula geral que relaciona a temperatura de um sistema com a sua energia média. O teorema da equipartição é também conhecido como lei da equipartição, equipartição de energia ou simplesmente equipartição. A ideia central da equipartição é a de que, em equilíbrio térmico, a energia é partilhada de maneira igual entre as suas várias formas. Por exemplo, a energia cinética média no movimento translacional de uma molécula deve ser igual à energia cinética média do seu movimento rotacional.

Da aplicação do teorema da equipartição surgem predições quantitativas. Tal como no teorema do virial, dá as energias cinética e potencial totais do sistema a uma dada temperatura, a partir da qual é possível calcular a capacidade térmica do sistema. No entanto, a equipartição também dá os valores médios dos componentes individuais da energia, tal como a energia cinética de uma partícula específica ou a energia potencial de uma única mola. Por exemplo, prediz que cada molécula num gás perfeito possui uma energia cinética média com um valor de (3/2)k_BT, em equilíbrio térmico, onde k_B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. De uma maneira mais geral, o teorema pode ser aplicado a qualquer sistema físico clássico em equilíbrio termodinâmico, não importando o seu grau de complexidade. O teorema pode ser utilizado para derivar a lei dos gases ideais e a lei de Dulong-Petit para os calores específicos dos sólidos. Também pode ser utilizado para prever as propriedades das estrelas, até mesmo de anãs brancas e estrelas de neutrões, dado que a sua validade se estende a situações em que efeitos relativistas são considerados.

Apesar de o teorema da equipartição proporcionar predições muito precisas em certas circunstâncias, isto não é assim quando os efeitos quânticos são significativos, nomeadamente quando estão em causa temperaturas suficientemente baixas. A equipartição é válida somente quando a energia térmica k_BT é muito maior que o espaçamento entre os níveis de energia quânticos. Quando a energia térmica é menor que o espaçamento entre níveis de energia quânticos, num grau de liberdade específico, a energia média e a capacidade térmica deste grau de liberdade são menores que os valores preditos pela equipartição. Diz-se que tal grau de liberdade está "congelado". Por exemplo, o calor específico de um sólido diminui a baixas temperaturas dado que vários tipos de movimentos se congelam em vez de permanecerem constantes como prevê a equipartição. Estas reduções nos calores específicos foram dos primeiros sinais notados pelos físicos do século XIX no sentido de que a física clássica estaria incorrecta e que era necessário avançar no desenvolvimento de novas teorias físicas. Juntamente com outras evidências, a falha da equipartição no campo da radiação electromagnética — também conhecida como catástrofe ultravioleta — induziu Albert Einstein a sugerir que a luz estava quantizada em fotões, uma hipótese revolucionária que incentivou o desenvolvimento da mecânica quântica e da teoria quântica de campos.

Conceito básico e exemplos simples

Ver artigo principal: Energia cinética e Capacidade térmica

Figura 2. Funções de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (⁴He), néon (²⁰Ne), argon (⁴⁰Ar) y xénon (¹³²Xe); os subíndices indicam os seus números de massa. Estas funções de densidade de probabilidade têm dimensões de probabilidade vezes o inverso da velocidade; dado que a probabilidade é adimensional, as mesmas expressam-se em unidades de segundos por metro.

A palavra "equipartição" significa "partilha por igual", derivando do latim equi da primeira parte da palavra, æquus ("igual ou plano"), e "partição" da segunda parte da palavra, partitionem ("divisão, parte").^[1]^[2]

O conceito original da equipartição era a de que a energia cinética total de um sistema é compartilhada em partes iguais entre todas as partes independentes, em média, uma vez o sistema houvesse alcançado o equilíbrio térmico. A equipartição também faz predições quantitativas de ditas energias. Por exemplo, prediz que cada átomo de um gás nobre, em equilíbrio térmico à temperatura T, possui uma energia cinética translacional média de (3/2)k_BT, onde k_B é a constante de Boltzmann. Portanto, para uma mesma temperatura, os átomos mais pesados do xenón terão uma velocidade média menor que a dos átomos de hélio, que são mais leves. A Figura 2 mostra a distribuição de Maxwell-Boltzmann para as velocidades dos átomos nos quatro gases nobres.

É importante destacar neste exemplo, que a energia cinética depende de forma quadrática em relação à velocidade. O teorema da equipartição mostra que, em equilíbrio térmico, todo o grau de liberdade (como por exemplo, uma componente da posição ou velocidade de una partícula) que possui somente uma dependência quadrática na energia possui uma energia média de ½k_BT e portanto contribui ½k_B para a capacidade térmica do sistema. Isto possui numerosas aplicações.

Energia de translação e gases ideais

Ver artigo principal: Gás ideal

A energia cinética (newtoniana ou clássica) de uma partícula de massa m e velocidade v é dada pela expressão:

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),

$G$

onde v_x, v_y e v_z são as componentes cartesianas da velocidade v. H é o hamiltoniano, e portanto será utilizado como símbolo da energia dado que a mecânica de Hamilton desempenha um papel destacado na forma mais geral do teorema da equipartição.

Como a energia cinética é quadrática nos componentes da velocidade, por equipartição destas três componentes, cada uma contribui com ½k_BT para a energia cinética média em equilíbrio térmico. Portanto, a energia cinética da partícula é (3/2)k_BT, como no caso do exemplo dos gases nobres discutido previamente.

De forma mais geral, num gás ideal, a energia total consiste exclusivamente de energia cinética de translação: já que se assume que as partículas não possuem graus internos de liberdade e se movem de forma independente umas das outras. A equipartição portanto prediz que a energia total média de um gás ideal com N partículas é (3/2) N k_BT.

Portanto, a capacidade térmica de um gás é (3/2) N k_B e a capacidade térmica de um mol de partículas de dito gás é (3/2)N_Ak_B=(3/2)R, onde N_A é o número de Avogadro e R é a constante universal dos gases perfeitos. Como R ≈ 2 cal/(mol·K), a equipartição prediz que a capacidade térmica molar de um gás ideal é aproximadamente 3 cal/(mol·K). Esta predição foi confirmada experimentalmente.^[3]

A energia cinética média também permite calcular a raiz da velocidade quadrática média v_rms das partículas de gás, como:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

$G$

onde M = N_Am é a massa de um mol de partículas de gás. Este resultado é muito útil para aplicações tais como a Lei de Graham de efusão, da qual se deriva um método para enriquecer Urânio.^[4]

Energia rotacional e agitação molecular em solução

Ver artigo principal: Velocidade angular e Difusão rotacional

Um exemplo similar é o do caso de uma molécula que roda e cujos momentos de inercia principais são I₁, I₂ e I₃. A energia rotacional de dita molécula é dada por:

H^{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

$G$

onde ω₁, ω₂, e ω₃ são os componentes da velocidade angular. Seguindo um raciocínio similar ao utilizado no caso da translacção, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, a energia média de rotação de cada partícula é (3/2)k_BT. De forma similar, o teorema da equipartição permite calcular a velocidade angular média (mais precisamente, a raiz média quadrática) das moléculas.^[5]

A rotação das moléculas rígidas — ou seja, as rotações aleatórias de moléculas em solução — joga um papel de destaque nas relaxações observadas por meio de ressonância magnética nuclear, particularmente por ressonância magnética nuclear de proteínas e por acoplamento dipolar residual.^[6] A difusão rotacional pode também ser observada mediante outras técnicas biofísicas tais como a anisotropia fluorescente, a birrefringência de fluxo e a espectroscopia dieléctrica.^[7]

Energia potencial e osciladores harmónicos

A equipartição aplica-se tanto à energia potencial com à energia cinética. Exemplo importante disto são os osciladores harmónicos tais como as molas, que possuem una energia potencial quadrática:

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,

$G$

onde a constante a descreve a rigidez da mola e q é o desvio em relação ao equilíbrio. Se dito sistema unidimensional possui uma massa m, então a sua energia cinética H^kin é ½mv² = p²/2m, com v e p = mv a velocidade e o momento do oscilador, respectivamente. Combinando estes termos obtém-se a energia total^[8]:

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.

$G$

Deste modo, a equipartição implica que, em equilíbrio térmico, o oscilador possui uma energia média:

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

$G$

onde os colchetes angulares $\left\langle \ldots \right\rangle$ representam a média da quantidade contida entre eles.^[9]

Este resultado é válido para todo o tipo de osciladores harmónicos, como por exemplo num pêndulo, numa molécula que vibra ou num oscilador electrónico passivo. Existem numerosos sistemas que contêm este tipo de osciladores; mediante a equipartição, cada um destes osciladores recebe uma energia média total k_BT e portanto contribui k_B para a capacidade térmica do sistema. Esta última relação pode ser usada para obter a fórmula para o ruído de Johnson–Nyquist ou "ruído térmico"^[10] e a Lei de Dulong-Petit para a capacidade térmica molar dos sólidos. Esta última aplicação foi especialmente relevante na história da equipartição.

Capacidade térmica dos sólidos

Figura 3. Os átomos numa rede cristalina podem vibrar em redor das suas posições de equilíbrio na rede. Estas vibrações, em grande medida representam a capacidade térmica dos dielétricos cristalinos; com os electrões metálicos também contribuindo para a capacidade térmica.

Uma aplicação importante do teorema da equipartição é o do cálculo da capacidade térmica de um sólido cristalino. Cada átomo neste tipo de sólido pode oscilar em três direcções independentes, pelo que se pode pensar o sólido como sendo um sistema de 3N osciladores harmónicos simples independentes, onde N é o número de átomos na rede. Dado que cada oscilador harmónico possui uma energia média k_BT, a energia total média do sólido é 3Nk_BT, e a sua capacidade térmica é 3Nk_B.

Tomando o número de Avogadro N_A, e utilizando a relação R = N_Ak_B entre a constante dos gases R e a constante de Boltzmann k_B, encontra-se uma explicação para a lei de Dulong-Petit relativa às capacidades térmicas molares dos sólidos, que estabelece que a capacidade térmica por mol de átomos na rede é 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

No entanto, esta lei não reproduz os dados experimentais a baixas temperaturas, devido à presença de efeitos quânticos; também é inconsistente com a terceira lei da termodinâmica, de acordo com a qual a capacidade térmica molar de qualquer substância deve tender a zero quando a temperatura se aproxima do zero absoluto.^[10] Uma teoria mais precisa, que incorpora efeitos quânticos, foi desenvolvida por Albert Einstein (1907) e Peter Debye (1911).^[11]

É possível representar outros numerosos sistemas físicos como conjuntos de osciladores acoplados. Os movimentos destes osciladores pode-se decompor em modos normais, similares aos modos de vibração de uma corda de piano ou das ressonâncias de um tubo de órgão. Por outra lado, a equipartição muitas vezes não funciona em ditos sistemas, porque não existe intercâmbio de energia entre os modos normais. Num caso extremo, os modos são independentes e portanto as suas energias se conservam de forma independente. Isto mostra que algum tipo de mistura de energias, chamada ergodicidade, é importante para que seja válida a lei da equipartição.

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